Conjuntos numéricos

Historia de los conjuntos numéricos

Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc…

A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa  el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar cantidades:

I: uno;   V: cinco;   X: diez;   L: cincuenta;  C: cien;    D: quinientos;  M: mil.

Hoy día nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado  lentamente a través de los tiempos.
En el siglo XXII a. de C para poder realizar importantes obras, los babilonios tuvieron que desarrollar un sistema de numeración útil, el mismo era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10).

Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban “hijo” al numerador, y “madre” al denominador.

La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción y llamaron a tal razón “alogos” o irracional.

Hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.

Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, se solucionaban algunos problemas y surgían otros como por ejemplo resolver ecuaciones de segundo grado y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de números negativos que no se sabían interpretar, de aquí surge nuevo tipo de números, que denominaron ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.

El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario) y en 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número “ordinario” hoy lo llamamos número real, más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.

El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal.

Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando  como  base el número diez,  por lo que se compone de las cifras cero(0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete  (7); ocho (8) y nueve (9).

MAPA CONCEPTUAL DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; Cada uno de estos conjuntos es una ampliación del anterior, así N N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

 

La ampliación de los conjuntos numéricos consigue cada vez mayor generalización. a continuación mostramos el orden de los conjuntos de números  según fueron su aparición.

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES (N)

Comencemos por el primer conjunto numérico: Los números naturales, son los números que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vació. a este conjunto lo simbolizaremos con la ( N ).

DONDE  Simbólicamente: N = {1, 2, 3, …, n, n+1}

El conjuntos de los números naturales se obtiene a partir del numero 1, el siguiente numero natural se obtiene al sumarle la unidad obteniéndose con esto:  1+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=5 y así sucesivamente podemos obtener infinitos números naturales

Operaciones con números naturales

Los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma y el producto ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un número natural, en cambio la diferencia (resta) no siempre es otro natural.

En el conjunto de los naturales solo podemos realizar dos operaciones que son:

La Suma y la multiplicación.

Ejemplos: 5 + 6 = 11;  y  8*5 = 40.

Propiedades del conjunto de los números naturales

• Tiene un número infinito de elementos.
• Es un conjunto ordenable.
• Existe un primer numero natural que es el 1.
• Entre dos números naturales consecutivos no existe otro numero natural.
• Todo numero natural le antecede otro numero natural, excepto el uno,esto indica que el uno es el primer numero natural.
• El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (N+1).

En cambio, no ocurre lo mismo, con la resta; por ejemplo 8 – 3 es un número natural, pero 3 – 8
no es un número natural; como consecuencia de ello surgen los números negativos.

Conjuntos de los números enteros (Z)

Este conjunto está conformado por los números negativos, los positivos y el cero. En las operaciones de números naturales se vio la imposibilidad de resolver una diferencia o resta en la que el minuendo es menor que el sustraendo,

Para poder resolver estas diferencias se crean los números negativos que junto a los número naturales y el cero forman este gran conjunto de números enteros.

Según como hemos definido las cosas, cada elemento de los números naturales hace parte también del conjunto de los números enteros.

DONDE  Simbólicamente: z= {…..,-5,-4,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, 4,5,…..}  recuerda que todo número natural es un número entero.

De ese modo 3 – 3 = 0 (cero) y 3 – 7 = – 4 (opuesto de 4)

Además de poder representar cantidades enteras positivas, los números enteros nos permiten representar cantidades enteras negativas.  Por esta razón cuando sumamos o restamos números enteros el resultado seguirá siendo un número entero.

Operaciones con números enteros

En el conjunto de los enteros podemos realizar operaciones tres operaciones que son:

La Suma, La multiplicación Y la resta.

Propiedades del conjunto de los números enteros

• No existe un primer número entero.
• El conjunto de los enteros es infinito.
• No existe un ultimo numero entero.
• Entre dos enteros consecutivos no existe otro número entero.
• A cada numero entero le sigue y le antecede oteo numero entero.

Si bien al introducir los números negativos hemos solucionado el problema de la resta, aún subsiste el problema para el cociente, ya que, por ejemplo 7/3 : no tiene solución en el conjunto de los números enteros. Para dar solución a los cocientes donde el dividendo no es múltiplo del divisor se crearon los números fraccionarios.

conjuntos de los numero racionales (Q)

Los Números Racionales son los números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se pueden expresar como fracción.El conjunto de los números enteros unido al de los fraccionarios forma el conjunto de los números racionales, que se simboliza con Q. Este conjunto, a diferencia de los conjuntos n y z no es discreto, ya que entre dos números cualesquiera existe un número infinito de números racionales.

Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).

Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }

operaciones con números racionales

La suma, multiplicación, resta y la división.

Los números fraccionarios junto a los números decimales exactos, periódicos puros y  periódicos mixto pertenecen al conjunto de los numero racionales.

El conjunto de los número racionales es un conjunto denso.

Entre dos números – hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso.

Números irracionales (Q’)

Como vimos antes, si un número tiene una cantidad finita de cifras decimales o tiene infinitas cifras decimales periódicas es un número racional. Pero podemos escribir números que, aunque tienen infinitas cifras decimales, éstas no son periódicas, por ejemplo: 0,1234567891011121314151617181920… (las cifras decimales son la sucesión de los números naturales); 0,1011001110001111000011111….. (las cifras decimales son una sucesión de un uno y un cero, luego, dos unos y dos ceros, tres unos y tres ceros, etc.)

Estos números no son racionales pues es imposible encontrar un período y por lo tanto no se pueden escribir como fracción ordinaria, los llamaremos irracionales.

Llamamos conjunto de números irracionales a los números decimales que tienen infinitas cifras no periódicas, no se pueden expresar como el cociente entre dos números enteros.

Ejemplos de números irracionales:

Todas las raíces inexactas son números irracionales. el PI π = Es el número de veces que el diámetro de una circunferencia cabe en el perímetro de dicha circunferencia. Se aproxima a 3,14

Se pueden inventar decimales infinitos no periódicos mediante azar o secuencias numéricas. El número e se aplica a problemas de intereses y de crecimiento exponencial.

e = 2,71828182845904523… se aproxima a 2,7

Conjuntos de los números reales(R)

Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un número irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, Racionales más Irracionales se forma un nuevo conjunto

La unión de los números racionales con los números irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Simbólicamente: R = {….- 10, -1, – ¾, – ½, – ¼, 0, ¼ , √2, 5 , …..}      R= {Q U Q’}

Propiedades del conjunto de los números reales

• Es un conjunto infinito.
• No existe un primer ni un ultimo numero real.

Las dos propiedades mas importante son:

• Propiedad de densidad de los números reales, y propiedad de la representación gráfica.

El conjunto de los números reales es denso, es decir que entre dos números reales existen infinitos números reales.

Ejemplo: de 3.1 para llegar a 3.2 podemos pasar por infinitos números 3.11, 3.12, 3.13, 3.1999 etc.

Conjuntos de los números imaginarios(I)

¿Por qué surgen los números imaginarios?

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.
Debes tener en cuenta:
i2 = -1, i 3 = – i, i 4 = 1.

Conjunto de Números Complejos (C)

La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.

Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto de los números complejos.
El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.

Formas de representación

Los conjuntos numéricos se pueden representar:

1. Mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica: A es el conjunto cuyos elementos son todos los números impares menores que 20.
2. Por extensión, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves: C = {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
3. Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},donde en esta expresión los dos puntos (“:”) significan “tal que”. Así, el conjunto anterior es el conjunto de “los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)”, o sea, el conjunto de los once primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical (“|”).
4. Por intervalos.